Соотношения между сторонами и углами треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника помогают сравнивать углы треугольника, зная соотношение его сторон, и наоборот.

Теорема

(соотношения между сторонами и углами треугольника).

В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) против большего угла лежит большая сторона.

1) Дано: ∆ ABC, AC>AB.

Доказать: ∠B>∠C.

Доказательство:

Отложим на стороне AC отрезок AK: AK=AB.

Так как AC>AB, то точка K лежит между точками A и C. Следовательно, ∠ABC=∠ABK+∠KBC, то есть ∠ABC>∠ABK.

Так как AK=AB, то треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK.

Значит, у него углы при основании равны: ∠ABK=∠AKB.

Для треугольника BCK  ∠AKB — внешний.

Поэтому ∠AKB=∠KBC+∠C, а значит, ∠AKB>∠C.

Имеем:

   

2) Дано: ∆ ABC,

∠B>∠C.

Доказать: AC>AB.

Доказательство:

(методом от противного).

Предположим, что неравенство AC>AB — неверное. Тогда либо AC=AB, либо AC<AB.

Если AC=AB, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC и у него углы при основании равны: ∠B=∠C, что противоречит условию.

По доказанному в пункте 1), против большей стороны лежит больший угол. Поэтому, если AC<AB, то ∠B<∠C. Снова пришли к противоречию.

Значит, выдвинутое нами предположение неверно. Следовательно, AC>AB.

Что и требовалось доказать.