Синус 45 градусов

Угол 45 градусов в геометрических задачах — один из самых часто встречающихся.

Соответственно, регулярно приходится использовать значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для этого угла.

Найдем, чему равен синус 45 градусов.

Утверждение:

    \[\sin {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Доказательство:

sinus 45

 Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 45 градусов:

   C=90º, A=45º.

 Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
 ∠B=90º -A=45º.

Так как два угла треугольника равны: A=B, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB.

Следовательно, AC=BC.

По теореме Пифагора

    \[A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}.\]

Пусть AC=BC=a, тогда

    \[A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2},\]

    \[AB = \sqrt {2{a^2}}  = a\sqrt 2 .\]

По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника:

    \[\sin \angle A = \frac{{BC}}{{AB}}\]

Имеем:

    \[\sin {45^o} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]

Поскольку иррациональность в знаменателе оставлять не принято, и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из двух:

    \[\sin {45^o} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{1 \cdot \sqrt 2 }}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]

Что и требовалось доказать.

Переведем 45º в радианы:

    \[{45^o} = \frac{\pi }{4}\]

Значит, синус пи на четыре равен

    \[\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]


Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>