Косинус 45 градусов

Поскольку угол 45º в геометрических задачах встречается регулярно, важно помнить, чему равен косинус 45 градусов.

Утверждение:

    \[\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Доказательство:

kosinus 45

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 45º:

C=90º, A=45º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
 ∠B=90º -A=45º.

Таким образом, в треугольнике два угла равны: A=B=45º. Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по признаку равнобедренного треугольника).

Значит, его боковые стороны равны: AC=BC.

kosinus 45 gradusov

Примем длину каждой из них за a.

По теореме Пифагора:

    \[A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\]

    \[A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\]

    \[AB = \sqrt {2{a^2}}  = a\sqrt 2 .\]

 

Так как косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

    \[\cos \angle A = \frac{{AC}}{{AB}},\]

    \[\cos {45^o} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]

Поскольку от иррациональности в знаменателе принято избавляться, умножим и числитель, и знаменатель дроби на квадратный корень из двух:

    \[\cos {45^o} = \frac{{1 \cdot \sqrt 2 }}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]

Что и требовалось доказать.

 

Переведем 45º в радианы:

    \[{45^o} = \frac{\pi }{4}\]

Отсюда, косинус пи на четыре равен

    \[\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>