Равносторонний треугольник на клетчатой бумаге

Задача 1

ravnostoronnij-treugolnik-na-kletkahНа клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найти радиус вписанной в него окружности.

Решение:

Поскольку формула радиуса вписанной в правильный треугольник окружности содержит иррациональность:

    \[r = \frac{a}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},\]

использовать её на экзамене, где требуется точный ответ, а не его приближённое значение, нет смысла. Да и длина стороны треугольника задана в таких заданиях не целым числом.

Зато высота треугольника — целое число. По свойству равностороннего треугольника его высота равна сумме радиусов вписанной и описанной окружности:

    \[h = R + r,\]

причем

    \[r = \frac{1}{3}h,R = \frac{2}{3}h.\]

ravnostoronnij-treugolnik-na-kletchatoj-bumageИтак, чтобы найти радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, нужно посчитать по клеткам длину высоты и найти от неё треть.

В данной задаче длина высоты равна 9 клеткам (h=9), следовательно,

    \[r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3.\]

Ответ: 3.

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найти радиус описанной около него окружности.

Решение:

pravilnyj-treugolnik-na-kletchatoj-bumageНаходим по клеткам высоту данного треугольника:

h=12.

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности составляет две третьих его высоты:

    \[ R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \cdot 12 \]

    \[ R = 8. \]

Ответ: 8.

Добавить комментарий