Уравнение средней линии

Как составить уравнение средней линии треугольника по координатам его вершин? Как записать уравнение средней линии трапеции?

Для решения этих задач используем свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции.

1 способ

Найти координаты середин двух сторон и составить уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.

Пример.

1) Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника с вершинами в точках A(-2;-4), B(1;6), C(7;0), пересекающей стороны AB и BC в точках M и N.

Решение:

М — середина отрезка AB, N — середина BC.

По формулам координат середины отрезка

    \[x_M = \frac{{x_A + x_B }}{2} = \frac{{ - 2 + 1}}{2} = - \frac{1}{2};\]

    \[y_M = \frac{{y_A + y_B }}{2} = \frac{{ - 4 + 6}}{2} = 1;\]

    \[x_N = \frac{{x_B + x_C }}{2} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4;\]

    \[y_N = \frac{{y_B + y_C }}{2} = \frac{{6 + 0}}{2} = 3.\]

Таким образом,

    \[M( - \frac{1}{2};1),N(4;3).\]

Составим уравнение прямой MN, например, в виде y=kx+b:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 1 = k \cdot ( - \frac{1}{2}) + b; \\ 3 = k \cdot 4 + b; \\ \end{array} \right.\]

Отсюда

    \[k = \frac{4}{9},b = \frac{{11}}{9},\]

    \[y = \frac{4}{9}x + \frac{{11}}{9},9y = 4x + 11,4x - 9y + 11 = 0.\]

2 способ

Найти координату одной из точек средней линии и составить уравнение прямой, параллельной стороне треугольника.

Решение:

    \[M( - \frac{1}{2};1)\]

— середина отрезка AB. Составим уравнение прямой AC:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 4 = k \cdot ( - 2) + b; \\ 0 = k \cdot 7 + b; \\ \end{array} \right.\]

    \[k = \frac{4}{9},b = - \frac{{28}}{9}, \Rightarrow y = \frac{4}{9}x - \frac{{28}}{9}.\]

Составим уравнение прямой MN как уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной прямой AC.

Угловой коэффициент прямой MN равен угловому коэффициенту прямой AC:

    \[k_{MN} = k_{AC} = \frac{4}{9},\]

то есть уравнение прямой MN ищем в виде

    \[y = \frac{4}{9}x + b.\]

Поскольку точка M принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют этому уравнению. Отсюда находим значение b:

    \[1 = \frac{4}{9} \cdot ( - \frac{1}{2}) + b, \Rightarrow b = 1 + \frac{2}{9} = \frac{{11}}{9}.\]

Таким образом, уравнение прямой MN

    \[y = \frac{4}{9}x + \frac{{11}}{9}\]

или

    \[4x - 9y + 11 = 0.\]

Аналогичные рассуждения применимы и при составлении уравнения средней линии трапеции.

Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции с вершинами в точках A(-2;1), B(1;5), C(4;-1), D(0;-3).

Решение:

1 способ

Сначала следует определить основания данной трапеции.

Составим уравнения сторон AD и BC. Если эти прямые параллельны, то AD и BC — основания трапеции. Если эти прямые не параллельны, то основания трапеции — AB и CD.

A(-2;1), D(0;-3), отсюда

    \[\left\{ \begin{array}{l} 1 = k \cdot ( - 2) + b; \\ - 3 = k \cdot 0 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = - 2,b = - 3.\]

Значит, уравнение прямой AD:  y= -2k-3.
B(1;5), C(4;-1),

    \[\left\{ \begin{array}{l} 5 = k \cdot 1 + b; \\ - 1 = k \cdot 4 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = - 2,b = 7.\]

Уравнение прямой BC: y= -2k+7.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны:

    \[k_{AD} = k_{BC} = - 2,\]

то AD ∥BC, то есть AD и BC являются основаниями трапеции ABCD. Значит AB и CD — боковые стороны. Найдём координаты точек M и N — середины  AB и CD соответственно.

    \[x_M = \frac{{x_A + x_B }}{2} = \frac{{ - 2 + 1}}{2} = - \frac{1}{2},\]

    \[y_M = \frac{{y_A + y_B }}{2} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3,\]

    \[x_N = \frac{{x_C + x_D }}{2} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2,\]

    \[y_N = \frac{{y_C + y_D }}{2} = \frac{{ - 1 + ( - 3)}}{2} = - 2.\]

Составим уравнение прямой MN, M(-1/2;3), N(2;-2):

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3 = k \cdot ( - \frac{1}{2}) + b; \\ - 2 = k \cdot 2 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = - 2,b = 2,\]

то есть y=-2k+2.

2 способ

Уравнение AD — y= -2k-3, середина AB — M(-1/2;3). Составляем уравнение прямой MN, параллельной прямой AD.

    \[k_{MN} = k_{AD} = - 2.\]

Значит уравнение MN ищем в виде y= -2x+b.

Так как прямая проходит через точку M, её координаты удовлетворяют уравнению прямой:

    \[3 = - 2 \cdot ( - \frac{1}{2}) + b, \Rightarrow b = 2.\]

Следовательно, уравнение средней линии трапеции ABCD имеет вид y=-2x+2 или 2x+y-2=0.

Добавить комментарий