Площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

 

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

    \[S = \frac{1}{2}ab,\]

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

ploshchad-pryamougolnogo-treugolnika-po-risunku1) a=2, b=5,

    \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5. \]

2) a=6, b=3,

    \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9. \]

 

 

Задача 2

ploshchad-treugolnika-po-risunkuНа клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

 

Решение:

 

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

    \[S = \frac{1}{2}ah_a ,\]

где a — сторона треугольника, ha — высота, проведённая к этой стороне.

ploshchad-treugolnika-na-kletchatoj-bumagea  и ha вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

1) a=6, ha=4,

    \[ S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12. \]

2) a=3, ha=5,

    \[ S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7,5. \]

 

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Задача 3

najti-ploshchad-treugolnika-po-risunku

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

 

 

najti-ploshchad-treugolnika-na-bumage

Решение:

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

    \[S_{\Delta ABC} = S_{AMNK} - S_{\Delta AKC} - S_{\Delta AMB} - S_{\Delta CBN} .\]

Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.

    \[ S_{AMNK} = AM \cdot AK = 7 \cdot 5 = 35. \]

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

    \[ S = \frac{1}{2}ab, \]

где a и b — катеты.

    \[S_{\Delta AKC} = \frac{1}{2}AK \cdot KC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2,5;\]

    \[S_{\Delta AMB} = \frac{1}{2}AM \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10,5;\]

    \[S_{\Delta CBN} = \frac{1}{2}CN \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6.\]

Отсюда

    \[S_{\Delta ABC} = 35 - 2,5 - 10,5 - 6 = 16.\]

Добавить комментарий