Поворот

Отметим на плоскости точку O — центр поворота. Зададим угол α — угол поворота.

povorot

Определение

Поворот плоскости вокруг точки O на угол α — это отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, что

    \[OA = O{A_1}\]

    \[\angle AO{A_1} = \alpha \]

При этом точка O остаётся на месте (отображается сама в себя), а все остальные точки поворачиваются вокруг точки O в одном и том же направлении — либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.

Утверждение

Поворот является движением

(то есть отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние).

Доказательство:

povorot-est-dvizhenieЕсли точки A, O и B не лежат на одной прямой.

Пусть точка O — центр поворота, α — угол поворота. При повороте вокруг точки O на угол α против часовой стрелки точка A отобразится в точку A1, точка B — в точку B1.

Проведём отрезки AB и A1B1.

povorot-yavlyaetsya-dvizheniemРассмотрим треугольники AOB и A1OB1.

1) OA=OA1;

2) OB=OB1 (по определению поворота).

    \[3)\left. \begin{array}{l} \angle AOB = \angle AO{A_1} + \angle {A_1}OB = \alpha  + \angle {A_1}OB\\ \angle {A_1}O{B_1} = \angle {B_1}OB + \angle {A_1}OB = \alpha  + \angle {A_1}OB \end{array} \right\} \Rightarrow \]

    \[\angle AOB = \angle {A_1}O{B_1}\]

Следовательно, треугольники AOB и A1OB1 равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1.

povorot-dvizhenie-dokazatelstvoЕсли точки A, O и B лежат на одной прямой.

    \[\left. \begin{array}{l} OA = O{A_1},OB = O{B_1}\\ AB = OA + OB\\ {A_1}{B_1} = O{A_1} + O{B_1} \end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}{B_1} = AB.\]

При повороте в направлении по часовой стрелке все рассуждения аналогичны.

Равенство A1B1=AB означает, что при повороте расстояние между точками сохраняется, а значит, поворот является движением.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>