По сторонам параллелограмма найти его диагонали

Если в задаче требуется по сторонам параллелограмма найти его диагонали, следует воспользоваться свойством диагоналей параллелограмма.

Задача 1.

Диагонали параллелограмма равны 7 см и 11 см, а его стороны относятся как 6:7. Найти стороны параллелограмма.

po diagonalyam parallelogramma nayti ego storonyiДано: ABCD — параллелограмм,

AC=11 см, BD=7 см,

AB:AD=6:7

 Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AB=6k см, AD=7k см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})\]

Составим уравнение и решим его:

    \[{11^2} + {7^2} = 2({(6k)^2} + {(7k)^2})\]

    \[121 + 49 = 2(36{k^2} + 49{k^2})\]

    \[170 = 170{k^2}\]

    \[{k^2} = 1\]

    \[\underline {k = 1} \]

Следовательно, AB=6∙1=6 см, AD=7∙1=7 см.

Ответ: 6 см, 7 см.

Задача 2.

Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см. Найти стороны параллелограмма.

po diagonalyam parallelogramma nayti ego storonyi

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=19 см, BD=17 см,

AD на 5 см больше  AB.

 Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AD=(x+5) см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})\]

Составим уравнение и решим его:

    \[{19^2} + {17^2} = 2({x^2} + {(x + 5)^2})\]

    \[361 + 289 = 2({x^2} + {x^2} + 10x + 25)\]

    \[650 = 2(2{x^2} + 10x + 25)\]

    \[325 = 2{x^2} + 10x + 25\]

    \[2{x^2} + 10x - 300 = 0\]

    \[{x^2} + 5x - 150 = 0\]

    \[{x_1} = 10,{x_2} =  - 15.\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Значит, AB=10 см, AD= 10+5=15 см.

Ответ: 10 см, 15 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>