По диагоналям параллелограмма найти его стороны

Чтобы по диагоналям параллелограмма найти его стороны, нужно использовать свойство диагоналей параллелограмма.

Задача 1.

Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см, а одна из сторон на 10 см больше другой. Найти стороны параллелограмма.

po diagonalyam parallelogramma nayti ego storonyi

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=26 см, BD=18 см,

AD на 10 см больше AB.

Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AD=(х+10) см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})\]

Составим уравнение и решим его:

    \[{26^2} + {18^2} = 2({x^2} + {(x + 10)^2})\]

    \[676 + 324 = 2({x^2} + {x^2} + 20x + 100)\]

    \[1000 = 2(2{x^2} + 20x + 100)\]

Делим обе части уравнения на 4, получаем:

    \[250 = {x^2} + 10x + 50\]

    \[{x^2} + 10x - 200 = 0\]

    \[{x_1} = 10,{x_2} =  - 20\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, AB=10 см, AD=10+10=20 см.

Ответ: 10 см, 20 см.

Задача 2.

Найти стороны параллелограмма, если они относятся как 8:19, а диагонали параллелограмма равны 30 см и 50 см.

Рисунок — аналогичный.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=50 см, BD=30 см,

AB:AD=8:19.

Найти: AB, AD.

Решение.

Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AB=8k см, AD=19k см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

    \[A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})\]

Составляем уравнение:

    \[{50^2} + {30^2} = 2({(8k)^2} + {(19k)^2})\]

    \[2500 + 900 = 2(64{k^2} + 361{k^2})\]

    \[3400 = 850{k^2}\]

    \[{k^2} = 4\]

    \[\underline {k = 2} \]

Значит, AB=2∙8=16 см, AD=2∙19=38 см.

Ответ: 16 см, 38 см.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>