Площадь трапеции по диагоналям и высоте

Как найти площадь трапеции по диагоналям и высоте?

Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. Высота уже известна, остаётся найти сумму оснований (каждое из оснований отдельно искать не нужно).

ploshchad-trapecii-cherez-diagonali-i-vysotuДано: ABCD — трапеция,

AD∥BC, AC=d1, BD=d2

CK- высота, CK=h.

Найти:

    \[{S_{ABCD}}.\]

Решение:

ploshchad-trapecii-po-diagonalyam-i-vysote1) Через точку C проведем прямую, параллельную диагонали BD. Обозначим точку пересечения этой прямой и прямой, содержащей основание AD трапеции, через F:

    \[CF\parallel BD,CF \cap AD = F.\]

2) Четырехугольник BCFD — параллелограмм (по определению) ( у него AF∥BC (как прямые, содержащие основания трапеции), BD∥CF (по построению)).

По свойству параллелограмма DF=BC, CF=BD=d2.

3) Рассмотрим треугольник ACK, ∠AKC=90º.

По теореме Пифагора

    \[AK = \sqrt {A{C^2} - C{K^2}}  = \sqrt {d_1^2 - {h^2}} .\]

4) Аналогично, из прямоугольного треугольника CKF

    \[KF = \sqrt {C{F^2} - C{K^2}}  = \sqrt {d_2^2 - {h^2}} .\]

5) AF=AD+DF=AD+BC, то есть длина AF и есть искомая сумма оснований трапеции.

I. Если точка K  лежит между точками A и F, то

AF=AK+KF,

    \[AD + BC = \sqrt {d_1^2 - {h^2}}  + \sqrt {d_2^2 - {h^2}} .\]

6) По формуле

    \[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

площадь трапеции ABCD

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot CK,\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{\sqrt {d_1^2 - {h^2}}  + \sqrt {d_2^2 - {h^2}} }}{2} \cdot h.\]

izvestny-diagonali-i-vysota-najti-ploshchad-trapeciiII. Если точка A лежит между точками K и F, то

AF=KF-AK,

 

    \[AD + BC = AF = \sqrt {d_2^2 - {h^2}}  - \sqrt {d_1^2 - {h^2}} ,\]

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{\sqrt {d_2^2 - {h^2}}  - \sqrt {d_1^2 - {h^2}} }}{2} \cdot h.\]

Запоминать эти формулы не нужно. При решении конкретной задачи достаточно провести аналогичные рассуждения, найти сумму оснований и подставить её в стандартную формулу.

Задача.

Найти площадь трапеции, если её диагонали равны 10 и 17, а высота — 8.

Решение:

Проводя приведенные выше рассуждения, находим KF и AK:

    \[KF = \sqrt {d_2^2 - {h^2}}  = \sqrt {{{17}^2} - {8^2}}  = 15,\]

    \[AK = \sqrt {d_1^2 - {h^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}}  = 6\]

Если точка K лежит между точками A и F, то

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{15 + 6}}{2} \cdot 8 = 84\]

Если точка A лежит между точками K и F, то

    \[{S_{ABCD}} = \frac{{15 - 6}}{2} \cdot 8 = 36.\]

Ответ: 84 или 36.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>