Многоугольник

Существуют разные точки зрения на то, что считать многоугольником. В школьном курсе геометрии используют одно из следующих определений.

Определение 1

Многоугольник

    \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n}\]

— это фигура, составленная из отрезков

    \[{A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_{n - 1}}{A_n},\]

так, что смежные отрезки (то есть соседние отрезки с общей вершиной, например, A1A2 и A2A3) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.

Определение 2

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная.

mnogougolnikТочки

    \[{A_1},{A_2},{A_3},...,{A_{n - 1}},{A_n}\]

называются вершинами многоугольника, отрезки

    \[{A_1}{A_2},{A_2}{A_3},...,{A_{n - 1}}{A_n}\]

сторонами многоугольника.

Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.

Многоугольник, который имеет n вершин (а значит, и n сторон) называется n — угольником.

Многоугольник, который лежит в одной плоскости, называется плоским. Когда говорят о многоугольнике, если не сказано иначе, подразумевается, что речь идёт о плоском многоугольнике.

Две вершины, принадлежащие одной стороне многоугольника, называются соседними. Например, A1 и A2, A5 и A6 — соседние вершины.

Отрезок, который соединяет две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Выясним, сколько диагоналей имеет многоугольник.

diagonali-mnogougolnikaИз каждой из n вершин многоугольника исходит n-3 диагонали

(всего вершин n. Не считаем саму вершину и две соседние, которые не образуют с данной вершиной диагонали. Для вершины A1, например, не учитываем саму A1 и соседние вершины A2 и A3).

Таким образом, каждой из n вершин соответствует n-3 диагонали. Поскольку одна диагональ относится сразу к двум вершинам, чтобы найти количество диагоналей многоугольника, надо произведение n(n-3) разделить пополам.

Следовательно, n — угольник имеет

    \[\frac{{n \cdot (n - 3)}}{2}\]

диагонали.

 

Любой многоугольник делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Добавить комментарий