Ломаная

Определение

Ломаная

${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$

— это фигура, состоящая из точек

${A_1},{A_2},{A_3},...,{A_n}$

и последовательно соединяющих эти точки отрезков.

Точки

${A_1},{A_2},{A_3},...,{A_n}$

— вершины ломаной, отрезки

${A_1}{A_2},{A_2}{A_3},{A_3}{A_4},...,{A_{n - 1}}{A_n}$

— звенья ломаной.

Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.

lomanaya ne-prostaya-lomanaya

Например,

${A_1}{A_2}{A_3}...{A_9}$

— простая ломаная.

Ломаная

${B_1}{B_2}{B_3}...{B_8}$

не является простой (это ломаная с самопересечением).

zamknutaya-lomanaya Ломаная, начало которой совпадает с её концом, называется замкнутой.

Например,

${C_1}{C_2}{C_3}{C_4}{C_5}{C_6}$

— замкнутая ломаная.

Длиной ломаной называется сумма длин всех её звеньев.

Теорема

(о длине ломаной)

Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

dlina-lomanoj Дано:

${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$

— ломаная.

Доказать:

${A_1}{A_n} < {A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + ... + {A_{n - 1}}{A_n}$

Доказательство:

teorema-o-dline-lomanoj Проведём отрезок A1A2.

${A_1}{A_3} < {A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}$

Новая ломаная

${A_1}{A_3}{A_4}...{A_n},$

в которой два звена A1A2 и A2A3 заменили одним звеном A1A3 имеет длину, не большую длины исходной ломаной.

Аналогично в новой ломаной заменим звенья A1A3 и A3A4 на A1A4. Эта новая ломаная также имеет длину, не большую длины исходной ломаной.

На последнем шаге мы придём к отрезку A1An который также имеет длину, не большую длины исходной ломаной, то есть

${A_1}{A_n} < {A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + ... + {A_{n - 1}}{A_n}$

Что и требовалось доказать.