Ломаная

Определение

Ломаная

    \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\]

— это фигура, состоящая из точек 

    \[{A_1},{A_2},{A_3},...,{A_n}\]

и последовательно соединяющих эти точки отрезков.

Точки

    \[{A_1},{A_2},{A_3},...,{A_n}\]

— вершины ломаной, отрезки

    \[{A_1}{A_2},{A_2}{A_3},{A_3}{A_4},...,{A_{n - 1}}{A_n}\]

— звенья ломаной.

Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений.

lomanayane-prostaya-lomanaya

 

Например, 

    \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_9}\]

— простая ломаная.

Ломаная

    \[{B_1}{B_2}{B_3}...{B_8}\]

не является простой (это ломаная с самопересечением).

zamknutaya-lomanayaЛоманая, начало которой совпадает с её концом, называется замкнутой.

Например, 

    \[{C_1}{C_2}{C_3}{C_4}{C_5}{C_6}\]

— замкнутая ломаная.

Длиной ломаной называется сумма длин всех её звеньев.

Теорема

(о длине ломаной)

Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

dlina-lomanojДано:

    \[{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\]

— ломаная.

Доказать:

    \[{A_1}{A_n} < {A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + ... + {A_{n - 1}}{A_n}\]

Доказательство:

teorema-o-dline-lomanojПроведём отрезок A1A2.

По неравенству треугольника

    \[{A_1}{A_3} < {A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}\]

Новая ломаная

    \[{A_1}{A_3}{A_4}...{A_n},\]

в которой два звена A1A2 и A2A3 заменили одним звеном A1A3 имеет длину, не большую длины исходной ломаной.

Аналогично в новой ломаной заменим звенья A1A3 и A3A4 на A1A4. Эта новая ломаная также имеет длину, не большую длины исходной ломаной.

На последнем шаге мы придём к отрезку A1An который также имеет длину, не большую длины исходной ломаной, то есть

    \[{A_1}{A_n} < {A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + ... + {A_{n - 1}}{A_n}\]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий