Касание двух окружностей

Определение

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.

Касание окружностей может быть внешним и внутренним.

kasanie-okruzhnostej

Внешнее касание окружностей - это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.

 

vnutrenne-kasanie-okruzhnostej

 

Внутреннее касание окружностей — касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной.

 

 

Касающиеся окружности имеют только одну общую точку — точку касания.

Утверждение

Центры касающихся окружностей и их общая точка касания лежат на одной прямой.

Доказательство:

При любом виде касания по свойству касательной касательная перпендикулярна радиусам, проведённым в точку касания:

    \[{O_1}A \bot k,{O_2}A \bot k\]

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой k.

Следовательно, все три точки: центры окружностей O1, O2 и A лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

    \[{O_1}{O_2} = {O_1}A + {O_2}A = R + r\]

При внутреннем касании расстояние между центрами окружностей  равно разности радиусов:

    \[{O_1}{O_2} = {O_1}A - {O_2}A = R - r\]

Добавить комментарий