Если у параллелограмма диагонали равны

Теорема.

(3-й признак параллелограмма)

Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником.

Esli u parallelogramma diagonali ravnyi

 

Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC и BD -диагонали,

AC=BD.

Доказать: ABCD — прямоугольник.

Доказательство:

Esli diagonali parallelogramma ravnyi

 

1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA (не забываем, что важно правильно назвать треугольники!).

1) AC=BD (по условию).

2) Сторона AD — общая.

3) AB=CD (как противолежащие стороны параллелограмма).

Следовательно, треугольники ABD и DCA равны (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠BAD=∠CDA.

3. ∠BAD+∠CDA=180º.(как внутренние накрест лежащие углы при AB ∥ CD и секущей AD).

Пусть ∠BAD=∠CDA=xº, тогда

x+x=180

2x=180

x=90

4. Значит, ∠BAD=∠CDA=90º. Следовательно, ABCD — параллелограмм, у которого есть прямой угол. Отсюда, ABCD — прямоугольник ( по второму признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>