Угол между биссектрисами прямоугольного треугольника

Дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника. Как найти его острые углы?

Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 45º. Поэтому, если в задаче дан угол между биссектрисами прямоугольного треугольника, отличный от 45º, то это — угол между биссектрисами острого и прямого углов.

Задача 

Биссектрисы прямоугольного треугольника пересекаются под углом α. Найти острые углы треугольника.

I. Если угол α — острый.

Ugol mezhdu bissektrisami pryamougolnogo treugolnika    Дано:

∆ABC, ∠С=90º,

CF и BK — биссектрисы,

CF и BK пересекаются в точке N,

∠СNK=α.

   Найти: ∠A, ∠СBA.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник KNC.

Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.

∠СNK=α (по условию).

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠СKN=180º-45º- α=135º- α.

2) Рассмотрим треугольник KBC.

∠KCB=90º (по условию).

∠СKN=135º- α (по доказанному).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠BKC=90º-∠СKN=90º-(135º- α)=90º-135º+ α= α-45º.

3) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(α-45º)=2α-90º.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠A=90º-∠ABC=90º-(2α-90º)=90º-2α +90º=180º-2α.

Ответ: 2α-90º; 180º-2α.

II. Если угол α — тупой.

dan ugol mezhdu bissektrisami pryamougolnogo treugolnika    Дано:

∆ABC, ∠С=90º,

CF и BK — биссектрисы,

CF и BK пересекаются в точке N,

∠СNB=α

   Найти: ∠A, ∠СBA.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник CNB.

Так как CF — биссектриса прямого угла ACB, то ∠KCN=90:2=45º.

∠СNB=α (по условию).

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠NBC=180º-45º- α=135º- α.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как BK — биссектриса ∠ABC, то ∠ABC=2∙∠BKC=2∙(135º- α)=270º- 2α.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠A=90º-∠ABC=90º-(270º- 2α)=90º-270º+ 2α=2α -180º.

Ответ: 270º- 2α; 2α -180º.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>