Медиана треугольника равна половине стороны

Докажем, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, то этот треугольник — прямоугольный.

Утверждение.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол напротив этой стороны равен 90º. mediana treugolnika ravna polovine storonyi

Дано:

∆ABC,

CO — медиана,

CO=1/2 AB

Доказать: ∠ACB=90º.

Доказательство.

1) Так как CO — медиана треугольника ABC и CO=1/2 AB (по условию), то CO=AO=BO.

Поэтому, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC,

треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по определению равнобедренного треугольника).

mediana ravna polovine storonyi k kotoroy provedena 2) Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны,

∠OAC=∠OCA,

∠OBC=∠OCB.

Пусть ∠OAC=OCA=φ.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике AOC

∠AOC=180º-(∠OAC+∠OCA)=180º-2φ.

3) ∠AOC+∠BOC=180º (как смежные).

Поэтому, ∠BOC=180º-∠AOC=180º-(180º-2φ)=180º-180º+2φ=2φ.

4) В треугольнике BOC

∠OBC=∠OCB=(180º-∠BOC):2=(180º-2φ):2=90º-φ.

5) ∠ACB=∠OCB+∠OCA=90º-φ+φ=90º.

Что и требовалось доказать.

 

4 Comments

  1. Дашкевич 03.04.2014 13:36 Ответить

    ТОЛЬКО НУЖНО ДОК-ТЬ, ЧТО УГОЛ ВСА И АСВ, НО НЕ АВС, ТАК КАК ПО РИСУНКУ ДАЖЕ ВИДНО, ЧТО ПРЯМОЙ УГОЛ ВСА, А НЕ АВС, АВС ВООБЩЕ ОСТРЫЙ УГОЛ. :) А ТАК СПАСИБКИ :)

  2. queza 16.06.2015 09:01 Ответить

    Зачем так заморачиваться?
    ∠A+∠B+∠C=180
    ∠A=∠B+∠C
    2(∠B+∠C)=180
    ∠B+∠C=90
    ∠B+∠C=∠A

  3. queza 16.06.2015 09:02 Ответить

    А c С перепутал, но идея понятна.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>