Отрезок средней линии трапеции между диагоналями

Утверждение

Отрезок средней линии трапеции, расположенный между её диагоналями, равен полуразности оснований трапеции.

 

otrezok-srednej-linii-trapeciiДано:  ABCD — трапеция, AD∥BC,

MN — средняя линия трапеции ABCD,

AC∩MN= P, BD∩MN=K

Доказать:

    \[PK = \frac{1}{2}(AD - BC).\]

Доказательство:

otrezok-srednej-linii-trapecii-mezhdu-diagonalyami1) AM=BM, MP∥BC (так как MN — средняя линия трапеции).

Следовательно, по теореме Фалеса  AP=PC.

Поэтому MP — средняя линия треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника,

    \[MP = \frac{1}{2}BC.\]

otrezok-srednej-linii-mezhdu-diagonalyami2) Аналогично, MK — средняя линия треугольника ABD и

    \[MK = \frac{1}{2}AD.\]

    \[ 3)PK = MK - MP = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AD - BC). \]

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий