Медианы из равных углов треугольника

Свойство медиан равнобедренного треугольника

Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.

medianyi ravnobedrennogo treugolnika

 

Дано: ∆ ABC,

AC=BC,

AK и BF — медианы.

 Доказать:

AK=BF

 

Доказательство:

medianyi iz ravnyih uglov treugolnika

 

Рассмотрим треугольники ACK и BCF.

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))

2) CK=CF (так как медианы AK и DF проведены к равным сторонам AC и BC, то и половины этих сторон равны между собой)

3) C — общий.

Следовательно, ∆ACK=∆BCF (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF.

Что и требовалось доказать.

 

Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).

Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).

Отсюда вывод:

Медианы, проведенные из равных углов треугольника, равны.

Медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.

 

Замечание.

(Вместо пары треугольников ACK и BCF можно было рассмотреть треугольники ABF и BAK.

1) AB — общая сторона

2) FAB=KBA (как углы при основании равнобедренного треугольника)

3) AF=BK (как половины равных сторон)

Следовательно, треугольники ABF и BAK равны по двум сторонам и углу между ними).

Добавить комментарий