Если у трапеции диагонали равны

Теорема

(II признак равнобедренной трапеции)

Если у трапеции диагонали равны, то она — равнобедренная.

Дано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC,

AC=BD.

Доказать: трапеция ABCD — равнобедренная.

Доказательство:

1) Проведем высоты трапеции BF и CK:

   

   

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники ACK и DBF.

AC=BD (по условию).

CK=BF (как высоты трапеции).

Следовательно, треугольники ACK и DBF равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠CAK=∠BDF.

3) Рассмотрим треугольники ABD и DCA.

BD=AC (по условию).

∠BDA=∠CAD (по доказанному).

AD — общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и DCA равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Следовательно, трапеция ABCD — равнобедренная (по определению).

Что и требовалось доказать.