Если у трапеции диагонали равны

Теорема

(II признак равнобедренной трапеции)

Если у трапеции диагонали равны, то она — равнобедренная.

esli u trapetsii diagonali ravnyiДано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC,

AC=BD.

Доказать: трапеция ABCD — равнобедренная.

Доказательство:

1) Проведем высоты трапеции BF и CK:

    \[BF \bot AD,\]

    \[CK \bot AD.\]

esli diagonali trapetsii ravnyi2) Рассмотрим прямоугольные треугольники ACK и DBF.

AC=BD (по условию).

CK=BF (как высоты трапеции).

Следовательно, треугольники ACK и DBF равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠CAK=∠BDF.

3) Рассмотрим треугольники ABD и DCA.

BD=AC (по условию).

∠BDA=∠CAD (по доказанному).

AD — общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и DCA равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Следовательно, трапеция ABCD — равнобедренная (по определению).

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>