Биссектриса внешнего угла треугольника

Чему равен угол, который образует биссектриса внешнего угла треугольника с биссектрисой смежного ему внутреннего угла?

Утверждение.

Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.

bissektrisa vneshnego ugla treugolnika   Дано: ∆ ABC,

∠BAP — внешний угол при вершине A,

AN — биссектриса ∠BAP,

AM — биссектриса ∠BAC.

Доказать: ∠MAN=90º.

Доказательство: (аналогично доказательству об угле между биссектрисами смежных углов).

Так как внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом при данной вершине, то по свойству смежных углов

    \[\angle BAP + \angle BAC = {180^o}.\]

Так как AN — биссектриса внешнего угла BAP, то

    \[\angle BAN = \frac{1}{2}\angle BAP.\]

Так как AM — биссектриса угла BAC, то

    \[\angle BAM = \frac{1}{2}\angle BAC.\]

Таким образом,

    \[\angle MAN = \angle BAN + \angle BAM = \]

    \[ = \frac{1}{2}\angle BAP + \frac{1}{2}\angle BAC = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle BAP + \angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]

svoystvo bissektrisyi vneshnego ugla treugolnika Итак, мы доказали, что биссектриса внешнего угла треугольника образует с биссектрисой внутреннего угла при данной вершине прямой угол:

    \[AM \bot AN.\]

Вывод: если требуется найти угол между биссектрисами внешнего и внутреннего углов треугольника, знать градусные меры самих  углов не требуется. Каким бы ни был внешний угол треугольника, его биссектриса перпендикулярна биссектрисе смежного внутреннего угла.

 

2 Comments

  1. додик обыкновенный 10.12.2014 20:30 Ответить

    докажите что биссектриса внешнего угла противоположного основанию равнобедренного треугольника параллельна основатию этого угла

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>