Биссектриса внешнего угла треугольника

Биссектриса внешнего угла треугольника

Чему равен угол, который образует биссектриса внешнего угла треугольника с биссектрисой смежного ему внутреннего угла?

Утверждение.

Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.

bissektrisa vneshnego ugla treugolnika   Дано: ∆ ABC,

∠BAP — внешний угол при вершине A,

AN — биссектриса ∠BAP,

AM — биссектриса ∠BAC.

Доказать: ∠MAN=90º.

Доказательство: (аналогично доказательству об угле между биссектрисами смежных углов).

Так как внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом при данной вершине, то по свойству смежных углов

    \[\angle BAP + \angle BAC = {180^o}.\]

Так как AN — биссектриса внешнего угла BAP, то

    \[\angle BAN = \frac{1}{2}\angle BAP.\]

Так как AM — биссектриса угла BAC, то

    \[\angle BAM = \frac{1}{2}\angle BAC.\]

Таким образом,

    \[\angle MAN = \angle BAN + \angle BAM = \]

    \[ = \frac{1}{2}\angle BAP + \frac{1}{2}\angle BAC = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle BAP + \angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]

svoystvo bissektrisyi vneshnego ugla treugolnika Итак, мы доказали, что биссектриса внешнего угла треугольника образует с биссектрисой внутреннего угла при данной вершине прямой угол:

    \[AM \bot AN.\]

Вывод: если требуется найти угол между биссектрисами внешнего и внутреннего углов треугольника, знать градусные меры самих  углов не требуется. Каким бы ни был внешний угол треугольника, его биссектриса перпендикулярна биссектрисе смежного внутреннего угла.

4 Comments

  1. докажите что биссектриса внешнего угла противоположного основанию равнобедренного треугольника параллельна основатию этого угла

    Ответить

  2. Решите пожалуйста. Один из углов треугольника равен альфа. Найдите угол между биссектрисами внешних углов, проведённых из вершин двух других углов.

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *