Уравнение средней линии

Уравнение средней линии

Как составить уравнение средней линии треугольника по координатам его вершин? Как записать уравнение средней линии трапеции?

Для решения этих задач используем свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции.

1 способ

Найти координаты середин двух сторон и составить уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.

Пример.

1) Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника с вершинами в точках A(-2;-4), B(1;6), C(7;0), пересекающей стороны AB и BC в точках M и N.

Решение:

М — середина отрезка AB, N — середина BC.

По формулам координат середины отрезка

    \[x_M = \frac{{x_A + x_B }}{2} = \frac{{ - 2 + 1}}{2} = - \frac{1}{2};\]

    \[y_M = \frac{{y_A + y_B }}{2} = \frac{{ - 4 + 6}}{2} = 1;\]

    \[x_N = \frac{{x_B + x_C }}{2} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4;\]

    \[y_N = \frac{{y_B + y_C }}{2} = \frac{{6 + 0}}{2} = 3.\]

Таким образом,

    \[M( - \frac{1}{2};1),N(4;3).\]

Составим уравнение прямой MN, например, в виде y=kx+b:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 1 = k \cdot ( - \frac{1}{2}) + b; \\ 3 = k \cdot 4 + b; \\ \end{array} \right.\]

Отсюда

    \[k = \frac{4}{9},b = \frac{{11}}{9},\]

    \[y = \frac{4}{9}x + \frac{{11}}{9},9y = 4x + 11,4x - 9y + 11 = 0.\]

2 способ

Найти координату одной из точек средней линии и составить уравнение прямой, параллельной стороне треугольника.

Решение:

    \[M( - \frac{1}{2};1)\]

— середина отрезка AB. Составим уравнение прямой AC:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 4 = k \cdot ( - 2) + b; \\ 0 = k \cdot 7 + b; \\ \end{array} \right.\]

    \[k = \frac{4}{9},b = - \frac{{28}}{9}, \Rightarrow y = \frac{4}{9}x - \frac{{28}}{9}.\]

Составим уравнение прямой MN как уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной прямой AC.

Угловой коэффициент прямой MN равен угловому коэффициенту прямой AC:

    \[k_{MN} = k_{AC} = \frac{4}{9},\]

то есть уравнение прямой MN ищем в виде

    \[y = \frac{4}{9}x + b.\]

Поскольку точка M принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют этому уравнению. Отсюда находим значение b:

    \[1 = \frac{4}{9} \cdot ( - \frac{1}{2}) + b, \Rightarrow b = 1 + \frac{2}{9} = \frac{{11}}{9}.\]

Таким образом, уравнение прямой MN

    \[y = \frac{4}{9}x + \frac{{11}}{9}\]

или

    \[4x - 9y + 11 = 0.\]

Аналогичные рассуждения применимы и при составлении уравнения средней линии трапеции.

Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции с вершинами в точках A(-2;1), B(1;5), C(4;-1), D(0;-3).

Решение:

1 способ

Сначала следует определить основания данной трапеции.

Составим уравнения сторон AD и BC. Если эти прямые параллельны, то AD и BC — основания трапеции. Если эти прямые не параллельны, то основания трапеции — AB и CD.

A(-2;1), D(0;-3), отсюда

    \[\left\{ \begin{array}{l} 1 = k \cdot ( - 2) + b; \\ - 3 = k \cdot 0 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = - 2,b = - 3.\]

Значит, уравнение прямой AD:  y= -2k-3.
B(1;5), C(4;-1),

    \[\left\{ \begin{array}{l} 5 = k \cdot 1 + b; \\ - 1 = k \cdot 4 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = - 2,b = 7.\]

Уравнение прямой BC: y= -2k+7.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны:

    \[k_{AD} = k_{BC} = - 2,\]

то AD ∥BC, то есть AD и BC являются основаниями трапеции ABCD. Значит AB и CD — боковые стороны. Найдём координаты точек M и N — середины  AB и CD соответственно.

    \[x_M = \frac{{x_A + x_B }}{2} = \frac{{ - 2 + 1}}{2} = - \frac{1}{2},\]

    \[y_M = \frac{{y_A + y_B }}{2} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3,\]

    \[x_N = \frac{{x_C + x_D }}{2} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2,\]

    \[y_N = \frac{{y_C + y_D }}{2} = \frac{{ - 1 + ( - 3)}}{2} = - 2.\]

Составим уравнение прямой MN, M(-1/2;3), N(2;-2):

    \[\left\{ \begin{array}{l} 3 = k \cdot ( - \frac{1}{2}) + b; \\ - 2 = k \cdot 2 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow k = - 2,b = 2,\]

то есть y=-2k+2.

2 способ

Уравнение AD — y= -2k-3, середина AB — M(-1/2;3). Составляем уравнение прямой MN, параллельной прямой AD.

    \[k_{MN} = k_{AD} = - 2.\]

Значит уравнение MN ищем в виде y= -2x+b.

Так как прямая проходит через точку M, её координаты удовлетворяют уравнению прямой:

    \[3 = - 2 \cdot ( - \frac{1}{2}) + b, \Rightarrow b = 2.\]

Следовательно, уравнение средней линии трапеции ABCD имеет вид y=-2x+2 или 2x+y-2=0.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *