Если известны угол, лежащий напротив диагонали ромба, и эта диагональ, то, используя свойства ромба, можно найти остальные его элементы.
1) Большая диагональ ромба равна D. Напротив неё лежит угол β.
Большая диагональ AC=D, лежащий напротив неё угол ∠ABC=β (угол ромба, лежащий против большей диагонали — тупой).
Проведём вторую диагональ ромба BD, BD ∩ AC=O.
По свойствам ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, являются биссектрисами углов ромба и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, в прямоугольном треугольнике ABO
∠ABO=β/2, AO=D/2. По определению синуса,
Зная сторону ромба, можем найти его периметр:
По определению котангенса,
Площадь ромба может быть найдена как половина произведения его диагоналей:
Другой вариант — произведение квадрата стороны на синус угла:
(Упростив эту формулу, получим предыдущую).
Высоту ромба можно найти несколькими способами. Например, через площадь. С одной стороны, площадь ромба
с другой —
Приравняв правые части формул:
и разделив обе части равенства на AB (AD=AB), получим
(Можно найти BH непосредственно из прямоугольного треугольника ABH по определению синуса, ∠BAH=180º-β, sin∠BAH=sin(180º-β)=sinβ).
Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба
2) Меньшая диагональ ромба равна d. Напротив неё лежит угол α.
Аналогично, из прямоугольного треугольника ABO