Синус 45 градусов в прямоугольном треугольнике

Угол 45 градусов в геометрических задачах — один из самых часто встречающихся.

Соответственно, регулярно приходится использовать значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для этого угла.

Найдем, чему равен синус 45 градусов в прямоугольном треугольнике.

Утверждение:

$\sin {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Доказательство:

sinus 45

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 45 градусов:

∠C=90º,

∠A=45º.

Так как два угла треугольника равны: ∠A=∠B=45°, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB.

Следовательно, AC=BC.

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}.$

Пусть AC=BC=a, тогда

$A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2},$

$AB = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 .$

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \angle A = \frac{{BC}}{{AB}}$

Имеем:

$\sin {45^o} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Поскольку иррациональность в знаменателе оставлять не принято, и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из двух:

$\sin {45^o} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{1 \cdot \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Что и требовалось доказать.

Переведем 45º в радианы:

${45^o} = \frac{\pi }{4}$

Значит, синус пи на четыре равен

$\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Синус 45 градусов