Косинус 45 градусов в прямоугольном треугольнике

Поскольку угол 45º в геометрических задачах встречается регулярно, важно помнить, чему равен косинус 45 градусов.

Найдём косинус 45 градусов в прямоугольном треугольнике.

Утверждение:

$\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Доказательство:

kosinus 45

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 45º:

∠C=90º,

∠A=45º.

Таким образом, в треугольнике два угла равны: ∠A=∠B=45º.

Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по признаку равнобедренного треугольника).

Значит, его боковые стороны равны: AC=BC.

kosinus 45 gradusov

Примем длину каждой из них за a:

AC=BC=a.

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}$

$A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}$

$AB = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 .$

Так как косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то

$\cos \angle A = \frac{{AC}}{{AB}},$

$\cos {45^o} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Поскольку от иррациональности в знаменателе принято избавляться, умножим и числитель, и знаменатель дроби на квадратный корень из двух:

$\cos {45^o} = \frac{{1 \cdot \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Что и требовалось доказать.

Переведем 45º в радианы:

${45^o} = \frac{\pi }{4}$

Отсюда, косинус пи на четыре равен

$\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$

Косинус 45 градусов