Что называется расстоянием от точки до прямой? Как найти расстояние от точки до прямой?
Определение.
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

рисунок 1
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой, надо из точки к прямой провести перпендикуляр и найти его длину.
Например, на рисунке 1 расстояние от точки A до прямой a равно длине перпендикуляра AB, опущенного из точки A на прямую a.
Задачи на нахождение расстояния от точки до прямой сводятся к рассмотрению прямоугольного треугольника.
Задачи.
№ 1. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 2:3, а длины их проекций соответственно равны 2 см и 7 см. Найти расстояние от точки до прямой.
Дано: A∉a,
AC и AD — наклонные, AC:AD=2:3,
BC и BD — их проекции, BC=2 см, BD=7 см
Найти: AB.
Решение:
1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AC=2k см, AD=3k см.
2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора
откуда
3) Аналогично, из треугольника ABD
4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим k:
5) Зная k, найдем AB:
Ответ: 4√2 см.
№ 2. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найти расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных равна 4 см.
Дано: A∉a,
AC и AD — наклонные, AC=13 см, AD=15 см,
BC и BD — их проекции, BD-BC=4 см
Найти: AB.
Решение:
1) Пусть BC=x см, тогда BD=x+4 см.
2) Рассмотрим треугольник ABC — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). По теореме Пифагора
откуда
3) Аналогично, из треугольника ABD
4) Приравниваем правые части полученных равенств и находим x:
5) Зная x, найдем AB:
Ответ: 12 см.
№ 3. Найти расстояние от точки A до прямой a, если известно, что наклонная AF, длина которой равна c, образует с прямой a угол α.
Дано: A∉a,
AF — наклонная,
AF=c, ∠AFB=α.
Найти: AB.
Решение:
Треугольник ABF — прямоугольный (так как AB — перпендикуляр к прямой a по условию). AB — катет, противолежащий углу ACB, AF — гипотенуза.
Ответ: c∙sinα.