Радиус описанной окружности треугольника с углом 30 градусов

Радиус описанной окружности треугольника с углом 30 градусов

Утверждение.

Ugol C treugol'nika ABC vpisannogo v okruzhnost' 30Радиус окружности, описанной около треугольника с углом 30°, равен стороне, лежащей напротив этого угла.

Доказательство:

1-й способ:

Пусть угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса R, равен 30°.

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

Ugol C treugol'nika ABC vpisannogo v okruzhnost' raven 30Тогда центральный угол AOB в два раза больше вписанного угла ABC:

    \[\angle AOB = 2\angle ACB = 2 \cdot 30 = {60^o}.\]

Треугольник AOB — равнобедренный (AO=BO как радиусы). Равнобедренный треугольник с углом 60° является равносторонним.

Следовательно, AB=AO=BO=R.

Что и требовалось доказать.

2-й способ:

По формуле для нахождения радиуса описанной около треугольника окружности

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }}\]

    \[R = \frac{{AB}}{{2\sin {{30}^o}}} = \frac{{AB}}{{2 \cdot \frac{1}{2}}} = AB.\]

 

Ugol C treugol'nika ABC vpisannogo v okruzhnost' 30Задача 1.

В треугольнике ABC сторона AB равна 22, угол C равен 30°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

Так как угол C равен 30 градусам, то радиус описанной около треугольника окружности равен стороне AB, лежащей напротив угла C:

    \[R = AB = 22.\]

Ответ: 22.

Ugol C treugol'nika ABC vpisannogo v okruzhnost' 30Задача 2.

Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 20, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.

Решение:

Поскольку угол C равен 30°, то радиус описанной окружности равен стороне AB, противолежащей этому углу:

    \[AB = R = 20.\]

Ответ: 20.

storona treugol'nika ravna radiusu okruzhnosti. Najdite ostryj ugolЗадача 3.

Одна сторона треугольника равна радиусу окружности. Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне.  Ответ дайте в градусах.

Решение:

    \[R = \frac{{AB}}{{2\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{AB}}{{2R}}\]

По условию, AB=R, отсюда

    \[\sin C = \frac{{AB}}{{2R}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},\]

а так как угол C — острый, то он равен 30°.

Ответ: 30.

Задача 4.

Одна сторона треугольника равна √2, радиус описанной окружности равен 1.Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне.  Ответ дайте в градусах.

Решение:

    \[R = \frac{{AB}}{{2\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{AB}}{{2R}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

По условию известно, что угол, противолежащий стороне — острый. Значит он равен 45°.

Ответ: 45.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *