Радиус описанной окружности треугольника через высоту |

Радиус описанной окружности треугольника через высоту

В следующих задачах рассмотрим, как связаны радиус описанной около правильного треугольника окружности с высотой треугольника.

Задача 1.

Vysota pravil'nogo treugol'nika cherez radiusВысота правильного треугольника равна 63.

Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Vysota treugol'nika cherez radius opisannoj okruzhnostiВ правильном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведённые к любой стороне, совпадают.

Следовательно, точка O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC является также точкой пересечения его медиан.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Значит CO:OH=2:1, поэтому

    \[CO = \frac{2}{3}CH\]

CO — радиус описанной около правильного треугольника ABC окружности: CO=R.

CH — высота правильного треугольника: CH=h.

Отсюда

    \[{R = \frac{2}{3}h}\]

    \[R = \frac{2}{3} \cdot 63 = 42.\]

Ответ: 42.

Задача 2.

Vysota pravil'nogo treugol'nika cherez radiusРадиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 100. Найти высоту этого треугольника.

Решение:

Аналогично задаче 1,

CO=R, CH=h

    \[R = \frac{2}{3}h \Rightarrow h = \frac{3}{2}R\]

    \[h = \frac{3}{2} \cdot 100 = 150.\]

Ответ:150.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *