Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник |

Свойства равнобедренного треугольника дают возможность получить дополнительные формулы. Рассмотрим некоторые из них.

radius okruzhnosti vpisannoy v ravnobedrennyiy treugolnik Поскольку для равнобедренного треугольника полупериметр

$p = \frac{a}{2} + b,$

то

$r = \frac{S}{{\frac{a}{2} + b}} = \frac{{2S}}{{a + 2b}}.$

Так как формула площади равнобедренного треугольника по формуле Герона равна

$S = \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} ,$

то

$r = \frac{{2 \cdot \frac{a}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{{a + 2b}} = \frac{{a\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{{a + 2b}}.$

Эту формулу можно упростить

$r = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2(a + 2b)}} = \frac{{a\sqrt {(2b - a)(2b + a)} }}{{2(2b + a)}}$

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен

$r = \frac{a}{2}\sqrt {\frac{{2b - a}}{{2b + a}}} .$

Если найти площадь по боковой стороне b и высоте, проведенной к основанию ha:

$S = {h_a}\sqrt {{b^2} - h_a^2} ,$

$p = b + \sqrt {{b^2} - h_a^2} ,$

то получим еще одну формулу для нахождения радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

$r = \frac{{{h_a}\sqrt {{b^2} - h_a^2} }}{{b + \sqrt {{b^2} - h_a^2} }}$

radius vpisannoy v ravnobedrennyiy treugolnik okruzhnosti Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, если известны углы при вершине и основании

$\angle ACB = \alpha ,\angle BAC = \beta ,$

то

$\angle ACF = \frac{\alpha }{2},\angle FAO = \frac{\beta }{2}$

Из прямоугольного треугольника AOF

$tg\angle FAO = \frac{{OF}}{{AF}},$

$r = \frac{a}{2}tg\frac{\beta }{2}$

Если известна боковая сторона и угол при основании, из прямоугольного треугольника ACF найдем AF

$AF = AC\cos \angle ACF = b\cos \beta ,$

а затем из треугольника AOF — OF:

$r = b\cos \beta tg\frac{\beta }{2}.$

Эти формулы могут помочь ускорить вычисления. Запоминать их необязательно, достаточно повторить рассуждения.

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник