Найти периметр равнобедренной трапеции с углом 60 |

Задача

В равнобедренной трапеции основания равны 14 и 25, острый угол равен 60°. Найти её периметр.

Решение:

1-й способ:

najti perimetr ravnobedrennoj trapecii Проведём высоты трапеции:

$BK \bot AD,BK \bot BC,$

$CP \bot AD,CP \bot BC$

В прямоугольном треугольнике ABK ∠A=60°.

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°,

∠A+∠ABK=90°, ∠ABK=90°-∠A=90°-60°=30°.

По свойству высоты равнобедренной трапеции:

$AK = \frac{{AD - BC}}{2} = \frac{{25 - 14}}{2} = \frac{{11}}{2}.$

$AK = \frac{1}{2}AB, \Rightarrow AB = 2AK = 2 \cdot \frac{{11}}{2} = 11 = CD$

${P_{ABCD}} = AD + AB + CD + BC =$

$= 25 + 11 + 11 + 14 = 61.$

2-й способ:

perimetr ravnobedrennoj trapecii Проведём из вершины C прямую, параллельную боковой стороне AB:

$CL\parallel AB$

Четырёхугольник ABCL — параллелограмм (так как у него противолежащие стороны параллельны).

Значит CL=AB, AL=BC=14.

Так как трапеция равнобедренная, то CD=AB=CL, то есть треугольник CDL — равнобедренный.

Поскольку ∠D=60°, то треугольник CDL — равносторонний, то есть LD=CD=AD-AL=25-14=11.

${P_{ABCD}} = AD + AB + CD + BC =$

$= 25 + 11 + 11 + 14 = 61.$

3-й способ:

perimetr ravnobedrennoj trapecii s uglom 60

Продлим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке M.

∠D=∠A=60°(как углы при основании равнобедренной трапеции), поэтому и ∠M=60°.

Значит треугольники AMD и BMC — равносторонние.

BM=BC=14, AM=AD=25.

Отсюда AB=AM-BM=25-14=11.

${P_{ABCD}} = AD + AB + CD + BC =$

$= 25 + 11 + 11 + 14 = 61.$

Ответ: 61.

Найти периметр равнобедренной трапеции с углом 60 градусов