Высота равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции

Nov.6,2014

Это свойство равнобедренной трапеции удобно доказать в общем виде в начале изучения темы, чтобы в дальнейшем использовать его при решении задач.

Утверждение.

Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

vyisota ravnobedrennoy trapetsii AD=a,

BC=b

$AF = \frac{{a - b}}{2}$

$DF = \frac{{a + b}}{2}$

vyisota ravnobedrennoy trapetsii provedennaya iz tupogo ugla Дано: ABCD — трапеция,

AD || BC, AB=CD, AD>BC,

AD=a, BC=b,

$BF \bot AD$

Доказать:

$AF = \frac{{a - b}}{2}$

$DF = \frac{{a + b}}{2}$

Доказательство:

v ravnobedrennoy trapetsii vyisota delit 1) Проведем высоту CK:

$CK \bot AD,CK \bot BC.$

2) Четырехугольник ABCD — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, его противоположные стороны равны: FK=BC=b.

3) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.

∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).

AB=CD (по условию),

BF=CK (как высоты трапеции).

Следовательно, треугольники ABF и DCK равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

$AF = KD = \frac{{AD - FK}}{2} = \frac{{a - b}}{2}.$

$FD = FK + KD = {b^{\backslash 2}} + \frac{{a - b}}{2} =$

$= \frac{{2b + a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}.$

Что и требовалось доказать.

Поскольку средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, длина отрезка FD равна длине среднее линии трапеции.

Добавить комментарий Отменить ответ