косинусы углов треугольника |

Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.

Задача

Дано: ΔABC,

A(-2;0), B(6;1), C(-3;-5).

1) Найти косинусы углов треугольника ABC;

2) Определить вид треугольника.

Решение:

kosinusy-uglov-treugolnika 1) Угол A образован векторами

$\overrightarrow {AB} u\overrightarrow {AC} .$

(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).

Следовательно,

$\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}.$

Найдём координаты векторов:

$\overrightarrow {AB} (x_B - x_A ;y_B - y_A ),$

$\overrightarrow {AB} (6 - ( - 2);1 - 0),$

$\overrightarrow {AB} (8;1).$

$\overrightarrow {AC} (x_C - x_A ;y_C - y_A ),$

$\overrightarrow {AC} ( - 3 - ( - 2); - 5 - 0),$

$\overrightarrow {AC} ( - 1; - 5).$

Находим скалярное произведение векторов:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 8 \cdot ( - 1) + 1 \cdot ( - 5) = - 13.$

Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.

Длины (или модули) векторов:

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {8^2 + 1^2 } = \sqrt {65} ,$

$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {( - 1)^2 + ( - 5)^2 } = \sqrt {26} .$

Отсюда

$\cos A = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {26} }} = \frac{{ - 13}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 13} }} =$

$= \frac{{ - 13}}{{13\sqrt {10} }} = - \frac{1}{{\sqrt {10} }} = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.$

2) Угол B образован векторами

$\overrightarrow {BA} u\overrightarrow {BC} .$

Таким образом,

$\cos B = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}.$

Так как

$\overrightarrow {BA} u\overrightarrow {AB}$

— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:

$\overrightarrow {AB} (8;1), \Rightarrow \overrightarrow {BA} ( - 8; - 1),$

$\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {65} .$

$\overrightarrow {BC} (x_C - x_B ;y_C - y_B ),$

$\overrightarrow {BC} ( - 3 - 6; - 5 - 1),$

$\overrightarrow {BC} ( - 9; - 6).$

$\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = - 8 \cdot ( - 9) + ( - 1) \cdot ( - 6) = 78.$

$\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {( - 9)^2 + ( - 6)^2 } = \sqrt {117} .$

$\cos B = \frac{{78}}{{\sqrt {65} \cdot \sqrt {117} }} = \frac{{13 \cdot 6}}{{\sqrt {5 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 13} }} =$

$= \frac{{13 \cdot 6}}{{13 \cdot 3\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

3) Угол C образован векторами

$\overrightarrow {CA} u\overrightarrow {CB} ,$

$\cos C = \frac{{\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|}}.$