Свойство медиан равнобедренного треугольника
Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
Дано: ∆ ABC,
AC=BC,
AK и BF — медианы.
Доказать:
AK=BF
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ACK и BCF.
1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))
2) CK=CF (так как медианы AK и DF проведены к равным сторонам AC и BC, то и половины этих сторон равны между собой)
3) ∠C — общий.
Следовательно, ∆ACK=∆BCF (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF.
Что и требовалось доказать.
Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).
Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).
Отсюда вывод:
Медианы, проведенные из равных углов треугольника, равны.
Медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.
Замечание.
(Вместо пары треугольников ACK и BCF можно было рассмотреть треугольники ABF и BAK.
1) AB — общая сторона
2) ∠FAB=∠KBA (как углы при основании равнобедренного треугольника)
3) AF=BK (как половины равных сторон)
Следовательно, треугольники ABF и BAK равны по двум сторонам и углу между ними).