Если у трапеции углы при основании равны

Теорема

(I признак равнобедренной трапеции).

Если у трапеции углы при основании равны, то она — равнобедренная.

Дано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC, ∠A=∠D

Доказать: ABCD — равнобедренная.

Доказательство:

1) Проведем высоты трапеции BF и CK:

   

   

2) Рассмотрим треугольники ABF и DCK.

∠AFB=90º, ∠DKC=90º (так как BF и CK — высоты трапеции).

∠A=∠D (по условию),

BF=CK (как высоты трапеции).

Следовательно, треугольники ABF и DCK равны (по катету и острому углу).

3) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Следовательно, трапеция ABCD — равнобедренная ( по определению).

4) Если ∠B=∠C.

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),

∠A=180º-∠B.

∠D+∠C =180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).

∠D =180º-∠C.

Таким образом, из равенства углов при меньшем основании следует равенство углов и при большем основании трапеции. Уже доказали, что в этом случае трапеция — равнобедренная.

Что и требовалось доказать.