Биссектриса параллелограмма

Как решать задачи, в которых биссектриса параллелограмма делит противолежащую сторону на отрезки? Решение основано на доказанном свойстве биссектрисы параллелограмма.

Это свойство (биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник) после доказательства можно использовать при решении задач. Я предпочитаю доказывать этот факт в каждой задаче (полезное упражнение для отработки навыков).

Задача 1.

Биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки 3 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Найти периметр параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

F ∈ BC, BF=3 см, FC=2 см.

Найти:

   

Решение:

1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию).

2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD и секущей AF).

 

 

3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA.

 

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).

5) Следовательно, AB=BF=3 см.

6) BC=BF+FC, BC=3+2=5 см.

   

Ответ: 16 см.

Задача 2.

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины острого угла. Периметр параллелограмма равен 90 см. Найти его стороны.

 

Дано: ABCD — параллелограмм, BK- биссектриса ∠ABC,

K ∈ AD, AK:KD=1:3,

   

Найти: AB, AD, CD, BC.

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AK=k см, KD=3k см, AD=AK+KD=k+3k=4k см.

2) ∠ABK=∠CBK (так как BK — биссектриса ∠ABC по условию).

3) ∠CBK=∠AKB (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD и секущей BK).

 

 

4) Следовательно, ∠ABK=∠AKB.

5) Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK (по признаку равнобедренного треугольника).

6) Следовательно, AB=AK=k см.

   

Составляем и решаем уравнение:

   

   

   

Значит, AB=9 см, AD=4∙9=36 см.

8) CD=AB=9 см, BC=AD=36 см (как противоположные стороны параллелограмма).

Ответ: 9 см, 9 см, 36 см, 36 см.