Углы параллелограмма

Решение задач на углы параллелограмма опирается на свойства параллелограмма.

Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равны 180º (так как они являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противолежащих сторонах параллелограмма) и секущей (пересекающей их стороне).

Противоположные углы параллелограмма равны.

Поэтому, если в задаче дана сумма углов параллелограмма (не 180º ), то речь идет  о его противолежащих углах.

Если сказано, что один из углов параллелограмма больше или меньше другого на некоторое количество градусов (или в несколько раз, или углы относятся в некотором отношении), то речь идет об углах, прилежащих к одной стороне параллелограмма.

Если в задаче требуется найти все углы параллелограмма, в начале изучения темы ищут все четыре угла.

В дальнейшем обычно находят только два из них (прилежащие к одной стороне), поскольку другие два им равны.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение углов параллелограмма.

Задача 1.

Найти углы параллелограмма, если один из его углов на 40º больше другого.

uglyi parallelogramma

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠B на 40º  больше ∠A.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

Пусть ∠A=хº, тогда ∠B=х+40º.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Имеем уравнение:

х+х+40=180

2х=180-40

2х=140

х=70

Значит, ∠A=70º, тогда ∠B=70+40=110º.

∠C=∠A=70º, ∠D=∠B=110º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 70º, 70º, 110º, 110º.

Задача 2.

Найти углы параллелограмма, если два из них относятся как 2:3.

uglyi parallelogramma

 

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠A:∠B=2:3.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠A=2kº, ∠B=3kº.

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Составим уравнение и решим его:

2k+3k=180

5k=180

k=36

Значит, ∠A=2∙36=72º, ∠B=3∙36=108º.

∠C=∠A=72º, ∠D=∠B=108º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 72º, 72º, 108º, 108º.

Задача 3.

Найти углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 150º.

uglyi parallelogramma

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠A+∠C=150º.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

∠A=∠C=150:2=75º (как противолежащие углы параллелограмма).

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Следовательно, ∠B=180º-∠A=180-75=105º.

∠D=∠B=105º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 75º, 75º, 105º, 105º.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>