Симметрия параллелограмма

Какая симметрия есть у параллелограмма?

Утверждение

Параллелограмм — центрально-симметричная фигура.

Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.

Доказательство:

simmetriya-parallelogrammaПусть X — произвольная точка параллелограмма. Проведём луч XO. На пересечении XO со стороной CD отметим точку X1. Рассмотрим треугольники XOB и X1OD:

1) BO=OD (по свойству диагоналей параллелограмма)

2) ∠BOX=∠DOX1 (как вертикальные)

3) ∠XBO=∠X1DO (как внутренние накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD).

Следовательно, треугольники XOB и X1OD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: XO=X1O, то есть точки X и X1 симметричны относительно точки O.

Имеем: точка, симметричная произвольной точке параллелограмма, также принадлежит параллелограмму. Следовательно, параллелограмм является централь-симметричной фигурой.

Что и требовалось доказать.

В общем виде параллелограмм осей симметрии не имеет. Осевой симметрией обладают только его частные случаи — прямоугольник, ромб и квадрат.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>