Найти четвертую вершину параллелограмма

Как найти координаты 4-й вершины параллелограмма, зная координаты трёх других его вершин?

В декартовых координатах эту задачу можно решить, используя свойство диагоналей параллелограмма.

Из трёх известных вершин две являются концами одной диагонали. Находим координаты середины этой диагонали. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Для второй диагонали находим второй конец по известным одному концу и середине.

Примеры.

1)

najti-koordinaty-vershiny-parallelogramma Дано: ABCD — параллелограмм,

A(-3;11), B(12;-4), C(1;-7)

Найти: D.

Решение:

najti-4-vershinu-parallelogramma1) Найдём координаты точки O — середины диагонали AC.

По формуле координат середины отрезка

    \[x_O = \frac{{x_A + x_C }}{2} = \frac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1;\]

    \[y_O = \frac{{y_A + y_C }}{2} = \frac{{11 + ( - 7)}}{2} = 2.\]

То есть O(-1;2).

2) По свойству диагоналей параллелограмма, точка O также является серединой BD:

    \[x_O = \frac{{x_B + x_D }}{2}; - 1 = \frac{{12 + x_D }}{2};x_D = - 14;\]

    \[y_O = \frac{{y_B + y_D }}{2};2 = \frac{{ - 4 + y_D }}{2};y_D = 8.\]

Ответ: D (-14; 8).

2)

Дано: ABCD — параллелограмм,

B(7;4), C(-5;10), D(-1;-2)

Найти: A.

Решение:

1) Ищем координаты точки O — середины отрезка BD:

    \[x_O = \frac{{x_B + x_D }}{2};x_O = \frac{{7 + ( - 1)}}{2} = 3;\]

    \[y_O = \frac{{y_B + y_D }}{2};x_O = \frac{{4 + ( - 2)}}{2} = 1.\]

Итак, O (3;1).

2) Точка O также является серединой AC:

    \[x_O = \frac{{x_A + x_C }}{2};3 = \frac{{x_A + ( - 5)}}{2};x_A = 11;\]

    \[y_O = \frac{{y_A + y_C }}{2};1 = \frac{{y_A + 10}}{2};y_A = - 8.\]

Ответ: A (11;-8).

Добавить комментарий