Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки

Как решать задачи, в которых диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки?

Как правило, такие задачи сводятся к рассмотрению двух треугольников.

Задача 1.

Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки длиной c и d. Найти основания трапеции.

diagonal-trapecii-delit-srednyuyu-liniyu-na-otrezki Дано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC, MN — средняя линия,

MN∩AC=K, MK=c, KN=d.

Найти: AD, BC.

Решение:

diagonal-trapecii-delit-srednyuyu-liniyu 1) Рассмотрим треугольник ACD.

СN=DN и KN ∥ AD (так как по условию MN — средняя линия трапеции).

Следовательно, по теореме Фалеса, AK=KC.

Значит, KN — средняя линия треугольника ACD.

По свойству средней линии треугольника,

$KN = \frac{1}{2}AD, \Rightarrow AD = 2KN = 2d.$

2) Рассмотрим треугольник ABC.

AM=MB (так как MN- средняя линия трапеции), AK=KC (по доказанному). Следовательно, MK — средняя линия треугольника ABC,

$MK = \frac{1}{2}BC, \Rightarrow BC = 2MK = 2c.$

Ответ: 2c, 2d.

Вывод:

Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований.

Задача 2.

Основание AD трапеции ABCD на 6 см больше основания BC, а средняя линия равна 7 см. Найти длины отрезков, на которые диагональ AC делит среднюю линию.

Решение:

Рисунок — как и в задаче 1.

Пусть BC=x см, тогда AD=x+6 см.

По доказанному выше,

$MK = \frac{1}{2}x(cm),KN = \frac{1}{2}(x + 6)(cm).$