Диагональ трапеции — биссектриса ее угла

Если диагональ трапеции — биссектриса ее угла, что можно сказать о такой трапеции?

Это зависит от того, биссектрисой какого угла является диагональ.

Утверждение 1

Если диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла, то меньшее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.

diagonal-trapecii-bissektrisa-ee-uglaДано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC,

AC — биссектриса ∠BAD.

Доказать: BC=AB.

Доказательство:

diagonal-trapecii-bissektrisa-ee-ostrogo-ugla

1) ∠BAC=∠DAC (так как AC — биссектриса ∠BAD по условию)

2) ∠BCA=∠DAC (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC)

3) Значит, ∠BAC=∠BCA

4) Таким образом, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по признаку).

Следовательно, AB=BF.

Что и требовалось доказать.

Утверждение 2

Если диагональ трапеции является биссектрисой ее тупого угла, то большее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.

diagonal-trapecii-bissektrisaДано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC,

BD — биссектриса ∠ABC.

Доказать: AD=AB.

Доказательство:

diagonal-trapecii-bissektrisa-ee-tupogo-ugla

1) ∠ABD=∠CBD (так как BD — биссектриса ∠ABC по условию).

2) ∠ADB=∠CBD (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BD).

3) Следовательно, ∠ABD=∠ADB.

4) Значит, треугольник ABD — равнобедренный с основанием BD (по признаку).

5) Отсюда, AD=AB.

Что и требовалось доказать.

Утверждение 3

Если диагональ трапеции является биссектрисой ее прямого угла, меньшее основание трапеции равно ее меньшей боковой стороне.

diagonal-trapecii-bissektrisa-pryamogo-uglaЕсли AC — биссектриса ∠BAD, то

AB=BC.

Доказательство — аналогично доказательству утверждения 1.

Добавить комментарий

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>