Центральная симметрия является движением

Теорема.

Центральная симметрия является движением.

Доказательство:

centralnaya-simmetriya-est-dvizhenieПусть A и B — две произвольные точки фигуры F.

При симметрии относительно точки O фигуры F точка A переходит в точку A1, точка B — в точку B1.

Рассмотрим треугольники AOB и A1OB.

1) AO=OA1

2) BO=OB1 (так как A и A1, B и B1 — точки, симметричные относительно точки O)

3) ∠AOB=∠B1OA1 (как вертикальные)

Следовательно, треугольники AOB и A1OB равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=A1B1, то есть расстояние между точками сохраняется, а значит, преобразование симметрии относительно точки является движением.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий