Хорда перепендикулярна диаметру

Утверждение

Если хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через её середину.

Дано: окружность (O;R), AB — диаметр,

CD — хорда,

   

   

Доказать: CP=PD.

Доказательство:

Соединим концы хорды CD с точкой O — центром окружности.

1 способ

Рассмотрим прямоугольные треугольники COP и DOP.

1) OP — общий катет.

2) CO=DO (как радиусы).

Следовательно, треугольники COP и DOP равны (по катету и гипотенузе).

Следовательно, CP=PD.

Что и требовалось доказать.

2 способ

Так как CO=DO (как радиусы), то треугольник COD — равнобедренный с основанием CD, а OP — его высота, проведённая к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, OP является также его медианой.

Следовательно, CP=PD.

Таким образом, если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он проходит через её середину.