Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.
Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр
(следствие из теоремы о вписанном угле)
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Дано:
∠ABC — вписанный,
AC — диаметр.
Доказать:∠ABC=90º.
Доказательство:
Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.
∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.
Следовательно, по теореме о вписанном угле,
![\[\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC = \]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6862aa2dd07a111ec0d4cb7ed4d4402_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f94b11743bc3b0364c6f245addf81e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Что и требовалось доказать.
Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.
Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.
Другой вариант формулировки следствия:
Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.
Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.