Свойства серединного перпендикуляра

Рассмотрим свойства серединного перпендикуляра.  Начнем со свойства серединного перпендикуляра к отрезку.

Теорема.

(Свойство серединного перпендикуляра к отрезку).

I) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

II) И обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

I)

Дано:

AB- отрезок, C — середина AB,

m — серединный перпендикуляр к AB,

M∈m.

Доказать: AM=BM.

Доказательство:

1. Если точка M совпадает с точкой C.

Так как AC=BC по условию, то и AM=BM.

2. Если точка M не совпадает с точкой C.

Рассмотрим треугольники ACM и BCM

   

то есть треугольники ACM и BCM — прямоугольные.

AC=BC (по условию), CM — общий катет.

Следовательно, ∆ ACM=∆ BCM (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=BM.

Что и требовалось доказать.

II) Дано: AB — отрезок, C — середина AB,

m — серединный перпендикуляр к AB,

AK=BK.

Доказать: K∈m.

Доказательство:

Так как AK=BK (по условию), то треугольник AKB — равнобедренный с основанием AB (по определению). Так как C — середина AB, то KC — медиана треугольника AKB.

По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является также его высотой, то есть

   

Что и требовалось доказать.

Вывод:

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

В следующий раз рассмотрим свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.