Стороны треугольника образуют угол

Задача.

Стороны треугольника, одна из которых на 8 см больше другой, образуют угол 120 градусов, а третья сторона равна 28 см. Найти периметр треугольника.

storonyi treugolnika obrazuyut ugol

Дано:

∆ ABC,

∠A=120º,

BC=28 см,

AC на 8 см больше AB.

Найти: P ∆ABC.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AC=(x+8) см. По теореме косинусов:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A$

(теорему применяем к той стороне, напротив которой определен угол). Отсюда,

${28^2} = {x^2} + {(x + 8)^2} - 2 \cdot x \cdot (x + 8) \cdot \cos {120^o}$

Так как косинус 120 градусов равен — 1/2, имеем:

$784 = {x^2} + {x^2} + 16x + 64 - 2 \cdot x \cdot (x + 8) \cdot ( - \frac{1}{2})$

$784 = {x^2} + {x^2} + 16x + 64 + x \cdot (x + 8)$

$784 = {x^2} + {x^2} + 16x + 64 + {x^2} + 8x$

$3{x^2} + 24x - 720 = 0\_\_\_\left| {:3} \right.$

${x^2} + 8x - 240 = 0$

${x_1} = 12,{x_2} = - 20$

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Значит, AB=12 см, AC=12+8=20 см.

${P_{\Delta ABC}} = AB + AC + BC$

${P_{\Delta ABC}} = 12 + 20 + 28 = 60(cm).$

Ответ: 60 см.