Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Рассмотрим, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки, на примерах.

Пример 1.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-3; 9) и B(2;-1).

Решение:

1 способ — составим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y=kx+b. Подставив координаты точек A и B в уравнение прямой (x= -3 и y=9 — в первом случае, x=2 и y= -1 — во втором), получаем систему уравнений, из которой находим значения k и b:

    \[\left\{ \begin{array}{l} 9 = k \cdot ( - 3) + b;\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right. \\ - 1 = k \cdot 2 + b; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9 = 3k - b; \\ - 1 = 2k + b; \\ \end{array} \right.\]

Сложив почленно 1-е и 2-е уравнения, получим: -10=5k, откуда k= -2. Подставив во второе уравнение k= -2, найдём b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Таким образом, y= -2x+3 — искомое уравнение.

2 способ — составим общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид ax+by+c=0. Подставив координаты точек A и B в уравнение, получаем систему:

    \[\left\{ \begin{array}{l} a \cdot ( - 3) + b \cdot 9 + c = 0; \\ a \cdot 2 + b \cdot ( - 1) + c = 0; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 9b + c = 0; \\ 2a - b + c = 0. \\ \end{array} \right.\]

Поскольку количество неизвестных больше количества уравнений, система не разрешима. Но можно все переменные выразить через одну. Например, через b.

Умножив первое уравнение системы на -1 и сложив почленно со вторым:

    \[\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 9b + c = 0;\_\_\_\left| { \cdot ( - 1)} \right. \\ 2a - b + c = 0; \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 9b - c = 0; \\ 2a - b + c = 0; \\ \end{array} \right.\]

получим: 5a-10b=0. Отсюда a=2b.

Подставим полученное выражение во второе уравнение: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Подставляем a=2b, c= -3b в уравнение ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Осталось разделить обе части на b:

2x+y-3=0.

Общее уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

y= -2x+3.

3 способ — составим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}\]

Подставим в это уравнение координаты точек A(-3; 9) и B(2;-1)

(то есть x1= -3, y1=9, x2=2, y2= -1):

    \[\frac{{y - 9}}{{ - 1 - 9}} = \frac{{x - ( - 3)}}{{2 - ( - 3)}}\]

и упростим:

    \[\frac{{y - 9}}{{ - 10}} = \frac{{x + 3}}{5}, \Rightarrow \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{x + 3}}{1}\]

По основному свойству пропорции

    \[- 2(x + 3) = 1(y - 9), \Rightarrow - 2x - 6 = y - 9,\]

откуда 2x+y-3=0.

В школьном курсе чаще всего используется уравнение прямой с угловым коэффициентом. Но самый простой способ — вывести и использовать формулу уравнения прямой, проходящей через две точки.

Замечание.

Если при подстановке координат заданных точек один из знаменателей уравнения

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}\]

окажется равным нулю, то искомое уравнение получается приравниваем к нулю соответствующего числителя.

Пример 2.

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки C(5; -2) и D(7;-2).

Решение:

Подставляем  в уравнение прямой, проходящей через 2 точки, координаты точек C и D:

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}, \Rightarrow \frac{{y - ( - 2)}}{{ - 2 - ( - 2)}} = \frac{{x - 5}}{{7 - 5}},\]

    \[ \frac{{y + 2}}{0} = \frac{{x - 5}}{2}, \Rightarrow y + 2 = 0, \Rightarrow y = - 2.\]

Пример 3.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (7; 3) и N (7; 11).

Решение:

    \[\frac{{y - y_1 }}{{y_2 - y_1 }} = \frac{{x - x_1 }}{{x_2 - x_1 }}, \Rightarrow \frac{{y - 3}}{{11 - 3}} = \frac{{x - 7}}{{7 - 7}},\]

    \[\frac{{y - 3}}{8} = \frac{{x - 7}}{0}, \Rightarrow x - 7 = 0, \Rightarrow x = 7.\]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *