Уравнение медианы |

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

1) По формулам координат середины отрезка

$x_{A_1 } = \frac{{x_B + x_C }}{2} = \frac{{6 + ( - 3)}}{2} = 1,5;$

$y_{A_1 } = \frac{{y_B + y_C }}{2} = \frac{{ - 3 + ( - 7)}}{2} = - 5.$

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} 1 = k \cdot 3 + b; \\ - 5 = k \cdot 1,5 + b. \\ \end{array} \right.$

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

$x_{B_1 } = \frac{{x_A + x_C }}{2} = \frac{{3 + ( - 3)}}{2} = 0;$

$y_{B_1 } = \frac{{y_A + y_C }}{2} = \frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3.$

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

$x_{C_1 } = \frac{{x_A + x_B }}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = 4,5;$