Периметр, площадь и диагональ прямоугольника |

Рассмотрим, как связаны периметр, площадь и диагональ прямоугольника на конкретных задачах.

Задача 1.

Периметр прямоугольника равен 42, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение:

1-й способ:

Пусть BC=x. Периметр прямоугольника ABCD

${P_{ABCD}} = 2(AB + BC)$

равен 42, следовательно,

$2(AB + x) = 42$

$AB + x = 21$

$AB = 21 - x$

Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$

${x^2} + {(21 - x)^2} = {20^2}$

${x^2} + 441 - 42x + {x^2} = 400$

$2{x^2} - 42x + 41 = 0\_\_\left| {:2} \right.$

${x^2} - 21x + \frac{{41}}{2} = 0$

Корни этого уравнения — иррациональные числа. По теореме Виета

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 21\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{41}}{2} \end{array} \right.$

Поскольку

${x_1}{x_2} > 0,{x_1} + {x_2} > 0,$

то оба корня — положительные числа. Эти числа — стороны прямоугольника BC и AB.

Площадь прямоугольника ABCD

${S_{ABCD}} = AB \cdot BC = \frac{c}{a} = \frac{{41}}{2} = 20,5.$

2-й способ:

Пусть BC=x, AB=y.

${P_{ABCD}} = 2(AB + BC) = 42$

$AB + BC = 21$

$x + y = 21$

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$

${x^2} + {y^2} = {20^2}$

${x^2} + {y^2} = 400$

${S_{ABCD}} = AB \cdot BC = xy = ?$

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 21\\ {x^2} + {y^2} = 400 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + y} \right)^2} = {21^2}\\ {x^2} + {y^2} = 400 \end{array} \right.$

$- \frac{{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2xy + {y^2} = 441\\ {x^2} + {y^2} = 400 \end{array} \right.}}{\begin{array}{l} 2xy = 41\\ xy = 20,5. \end{array}}$

Ответ: 20,5.

Задача 2.

Периметр прямоугольника равен 64, а площадь равна 31,5. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Решение:

Проще решить эту задачу 2-м способом, без нахождения сторон прямоугольника.

Пусть Пусть AB=x, BC=y. Периметр прямоугольника ABCD равен

${P_{ABCD}} = 2(AB+BC),$

$2(x + y) = 64$

$x + y = 32.$

Площадь прямоугольника ABCD равна

${S_{ABCD}} = AB \cdot BC,$

$xy = 31,5.$

Пришли к системе уравнений

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = 32\\ xy = 31,5 \end{array} \right.$

Нам не нужно решать эту систему, то есть находить x и y.

Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2},$

$A{C^2} = {x^2} + {y^2}.$

Поскольку требуется найти диагональ AC, нам нужно найти значение выражения x²+y².

Для этого обе части первого уравнения системы возведём в квадрат (так как по смыслузадачи x>0 и y>0, посторонние корни при этом не появятся), а обе части второго уравнения умножим на 2.

После чего из первого уравнения вычтем второе.

$\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + y} \right)^2} = {32^2}\\ xy = 31,5\_\_\_\left| { \cdot 2} \right. \end{array} \right.$