Найти сторону равнобедренного треугольника по площади углу

Задача 1.

Угол при вершине, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 30°.

Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 81.

Решение:

По формуле площади треугольника

$S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha$

для треугольника ABC

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC\sin C.$

По условию AC=BC, поэтому

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}A{C^2}\sin C,$

$A{C^2} = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{\sin C}}$

$AC = \sqrt {\frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{\sin C}}} .$

Так как sin30°=1/2,

$AC = \sqrt {\frac{{2 \cdot 81}}{{\sin {{30}^o}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 81}}{{\frac{1}{2}}}} = \sqrt {4 \cdot 81} = 2 \cdot 9 = 18.$

Ответ: 18.

Задача 2.

Угол при вершине, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 150°.

Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 1600.

Решение:

По формуле

$S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha ,$

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC\sin C,$

с учётом того, что AC=BC,

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}A{C^2}\sin C,$

$AC = \sqrt {\frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{\sin C}}} .$

Так как sin150°=1/2,

$AC = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1600}}{{\sin {{150}^o}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1600}}{{\frac{1}{2}}}} = \sqrt {4 \cdot 1600} = 2 \cdot 40 = 80.$

Ответ: 80.

Найти боковую сторону равнобедренного треугольника по площади и углу