Площадь треугольника по двум сторонам |

Выясним, как найти площадь треугольника по двум сторонам.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по двум сторонам:

formula ploschadi treugolnika po dvum storonam

$S = \frac{1}{2}ab\sin \alpha$

ploschad treugolnika po dvum storonam

Дано:

∆ ABC.

Доказать:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \angle A$

Доказательство:

ploschad treugolnika po dvum storonam i sinusu ugla

Проведем в треугольнике ABC высоту BD.

равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD.$

Рассмотрим треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота по построению).

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

$\sin \angle A = \frac{{BD}}{{AB}}.$

Отсюда

$BD = AB \cdot \sin \angle A.$

Таким образом,

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2}AC \cdot AB \cdot \sin \angle A.$

nayti ploschad treugolnika po dvum storonam i sinusu ugla

Если в треугольнике ABC

угол A тупой,

ploschad treugolnika cherez sinus

то в треугольнике ABD

$\angle BAD = {180^o} - \angle BAC$

$\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha$

имеем:

$\sin \angle BAD = \sin ({180^o} - \angle BAC) =$

$= \sin \angle BAC = \sin \angle A.$

То есть, и в случае тупого угла A выполняется равенство

$BD = AB \cdot \sin \angle A,$

а значит, верна формула

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \angle A.$

Что и требовалось доказать.

Площадь треугольника по двум сторонам