Найти величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду

Найти величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду

Задача 1.

Najti tupoj vpisannyj ugol opirayushchijsya na hordu √2Радиус окружности равен 1. Найти величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную √2. Ответ дайте в градусах.

Решение:

 

 

1-й способ:

По формуле

    \[R = \frac{a}{{2\sin \alpha }}\]

для треугольника ABC

    \[R = \frac{{AB}}{{2\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{AB}}{{2R}}\]

По условию R=1, AB=√2.

Отсюда получаем

    \[\sin C = \frac{{AB}}{{2R}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]

Мы знаем, что sin45°=√2/2.

Но 45° — острый угол, а по условию угол C — тупой.

Синус тупого угла найдём по формуле приведения

    \[\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha .\]

В нашем случае α=45°. Следовательно, синус 135 градусов также равен √2/2,

    \[\sin {135^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\]

то есть искомый угол ∠C=135°.

2-й способ:

Najti tupoj vpisannyj ugol opirayushchijsya na horduОтметим на окружности точку D, лежащую с другой стороны от хорды AB. Соединим отрезками точку D с точками A и B.

Тогда треугольник ABD вписан в окружность и

    \[R = \frac{{AB}}{{2\sin D}} \Rightarrow \sin D = \frac{{AB}}{{2R}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\]

откуда находим ∠D=45°.

ACBD — вписанный четырёхугольник. Значит, сумма его противолежащих углов равна 180 градусов:

    \[\angle C + \angle D = {180^o},\]

    \[\angle C = {180^o} - \angle D = {180^o} - {45^o} = {135^o}.\]

Ответ: 135.

Задача 2.

tupoj vpisannyj ugol opirayushchijsya na hordu ravnuyu radiusuРадиус окружности равен 1. Найти величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:

OA=OB=R, AB=R по условию. Следовательно, треугольник AOB — равносторонний, и все его углы равны по 60°.

Najti velichinu tupogo vpisannogo ugla opirayushchegosya na hordu ravnuyu radiusu∠AOB=60° — центральный угол, опирающийся на дугу AB.

Тогда

    \[\angle ADB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot {60^o} = {30^o}\]

(как вписанный угол, опирающийся на дугу AB).

ACBD — вписанный четырёхугольник,

    \[\angle C = {180^o} - \angle D = {180^o} - {30^o} = {150^o}.\]

Ответ: 150.

Задача 3.

Сторона AB треугольника ABC с тупым углом C равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Эта задача идентична задаче 2. Угол C равен 150 градусов.

Ответ: 150.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *